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CSUST 2021-04-06 周赛

2021/4/11 1:49:17 人评论

题目链接 A.对决 Description 又到了1v11v11v1男人大战的时刻,现在有nnn个战士,每个战士都有力量值xxx和敏捷值yyy两种属性。 现在,你可以随机挑两个战士进行决斗,如果决斗两个战士a,ba,ba,b存在力量值 xa≥xbx_a\geq x_bxa​≥xb​,同时敏捷值 ya≤yby_a \leq …

题目链接

A.对决

Description

又到了 1 v 1 1v1 1v1男人大战的时刻,现在有 n n n个战士,每个战士都有力量值 x x x和敏捷值 y y y两种属性。

现在,你可以随机挑两个战士进行决斗,如果决斗两个战士 a , b a,b a,b存在力量值 x a ≥ x b x_a\geq x_b xaxb,同时敏捷值 y a ≤ y b y_a \leq y_b yayb,那么这场对决为激烈的对决。

现在你要求出你有多少种激烈对决的方案。

注:不同的对决的区别在于对决两个人是否相同。

Input

一个整数 n n n,表示人数 ( 1 ≤ n ≤ 200000 ) (1\leq n\leq 200000) (1n200000)

接下来 n n n行,每行两个整数 x , y x,y x,y,表示战士的力量值和敏捷值( 1 ≤ x , y ≤ n 1\leq x ,y\leq n 1x,yn ,保证 x x x互不相同且 y y y互不相同)。

Output

一个整数,表示方案数。

Sample Input 1

3
2 2
3 3
1 1

Sample Output 1

0

Sample Input 2

3
3 2
1 1
2 3

Sample Output 2

1

Code

1.线段树 + 区间修改

由于 ( 1 ≤ x , y ≤ n 1\leq x ,y\leq n 1x,yn ,保证 x x x互不相同且 y y y互不相同),我们将其以 x x x 升序排,这样可以保证后者的 x x x 大于前者的 x x x 。线段树维护比当前值大的数的个数。

每次加上之前的比当前的位置的 y y y 值大的数的个数即可得到答案。


2.逆序对(归并排序,树状数组…)

从上面的解释也应该能看出来,答案就是逆序对数

// 

B. Rap男孩

Description

一位唱跳 R a p Rap Rap选手准备参加一场演出。他不喜欢在演出时始终使用同一个音量,所以他决定每一首歌之前他都要改变一次音量。在演出开始之前,他已经做好了一个列表,里面写着在每首歌开始之前他想要改变的音量是多少。每一次改变音量,他可以选择调高也可以调低。

音量用一个整数描述。输入文件中给定整数 x x x,代表吉他刚开始的音量,以及整数 m a ma ma,代表吉他的最大音量。音量不能小于 0 0 0也不能大于 m a ma ma

输入文件中还给定了 n n n个整数 c 1 , c 2 , c 3 , … , c n c_1,c_2,c_3,\dots, c_n c1,c2,c3,,cn,表示在第 i i i首歌开始之前选手想要改变的音量值是多少(即增加 c i c_i ci或者减少 c i c_i ci)。

选手想以最大的音量演奏最后一首歌,你的任务是找到这个最大音量是多少。

Input

第一行依次为三个整数: n , x , m a ( 1 ≤ n ≤ 50 , 0 ≤ x ≤ m a , 1 ≤ m a ≤ 1000 n,x,ma(1\leq n\leq 50, 0\leq x\leq ma, 1\leq ma\leq 1000 n,x,ma(1n50,0xma,1ma1000

第二行依次为 n n n个整数: c 1 , c 2 , c 3 , … , c n ( 1 ≤ c i ≤ m a ) c_1,c_2,c_3,\dots, c_n(1\leq c_i\leq ma) c1,c2,c3,,cn(1cima)

Output

输出演奏最后一首歌的最大音量。如果无法避免音量低于 0 0 0或者高于 m a ma ma,输出 − 1 -1 1

Sample Input 1

3 5 10               
5 3 7

Sample Output 1

10

Code

dp 枚举所有的可能结果(在范围内的),然后从后遍历取最值输出,没有则输出 − 1 -1 1


C.创造创造

Description

P c Pc Pc在寒假的摸鱼间隙刷题,不经意间看到了这样一个题:“给你 n n n个点的坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y),你最小需要用多大的矩阵才能将 n n n个点都覆盖”。

但由于新型冠状病毒的影响,题目会发生变异,变异会导致一个点的 x x x坐标和某些点(包括它自己)的 y y y坐标互换。

幸运的是,你可以控制这个变异的发生,即你可以选择变异的次数和如何变异,所以 P c Pc Pc找到了你,希望你通过变异,让这个矩形的最小面积最小。

Input

第一行一个整数 n n n,表示点的个数 ( 1 ≤ n ≤ 1 0 5 ) (1\leq n\leq 10^5) (1n105)

接下来 n n n行,每行两个整数 x , y ( 1 ≤ x , y ≤ 1 0 9 ) x,y(1\leq x,y\leq 10^9) x,y(1x,y109),表示点的坐标。

Output

一个整数,表示你经过变异后,最小矩形的最小值.

Sample Input 1

4
4 1
3 2
3 2
1 3

Sample Output 1

1

Sample Input 2

3
5 8
5 5
7 5

Sample Output 2

0

Code

由于 S 矩 形 = ( m a x x − m i n x ) ∗ ( m a x y − m i n y ) S_{矩形} = (max_x - min_x) * (max_y - min_y) S=(maxxminx)(maxyminy) ,且 x , y x, y x,y 可任意交换,我们只要保证差值最小即可。

因为对于全体数的而言,最大值最小值是已经确定的(不妨令其为 m a x x , m i n y max_x, min_y maxx,miny ),只要让 m i n x min_x minx 尽可能大, m a x y max_y maxy 尽可能小,就能取到面积最小值。

不难看出取到面积最小值的条件为 m i n x ≥ m a x y min_x \geq max_y minxmaxy


D.这才是真的冰阔落

Description

众众众众众众众众众众众众众所周知:

集训队人均喜欢喝冰阔落,这天,集训队外出打比赛,非常口渴,来到一个卖冰阔落的小卖部面前,但由于集训队人比较多(共有 n n n个人),所以需要排队购买。

但是可惜的是,小卖部没有零钱可以找零(一瓶冰阔落要 50 50 50元,黑心商家),而大家自己都只有一种货币 要么是 50 50 50元要么是 100 100 100元要么是银行卡。

大家只能自己帮自己付钱,不能找人代付。

提问:最后收费处还剩 L L L R R R张5050元的合理方案数有多少种。(对 p p p取模)

ps. 合理的方案数即为每个人和小卖部都没有欠款。

ps. 使用银行卡即为使用银行卡付款,不使用现金,银行卡同样只能为自己付款,不能为他人代付,银行卡有足够多的钱。

Input

输入共有四个整数, n , p , l , r ( 1 ≤ n ≤ 1 0 5 , 1 ≤ p ≤ 2 × 1 0 9 , 0 ≤ l ≤ r ≤ n ) n,p,l,r(1\leq n\leq 10^5, 1\leq p\leq 2\times 10^9,0\leq l\leq r\leq n) n,p,l,r(1n105,1p2×109,0lrn)

Output

输出为一个整数,为答案对 p p p取模后的结果。

Sample Input 1

4 100 0 4

Sample Output 1

35

Code

( n k ) {n \choose k} (kn) 为组合数的惯常写法 {n \choose k},读作 n n n k k k

Catalan Numbers 的拓展 参考链接

(这里贴的链接里有一个简化版的问题,也就是相对更一般的格路问题建议先阅读

种类效果(剩余)
50元+1
100元-1
银行卡0

枚举差值为 j ∈ [ L , R ] j \in [L, R] j[L,R] i i i 100 100 100元的数目,那么答案很明显是下面这个:

A n s w e r = ∑ j = L R ∑ i = 0 ⌊ n − j 2 ⌋ ( n j + 2 i ) [ ( j + 2 i i ) − ( j + 2 i i − 1 ) ] (1) Answer = \sum_{j=L}^{R}\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{n-j}{2}\rfloor}{n \choose j+2i}{\bigg[{j+2i \choose i} - {j+2i \choose i-1}\bigg]} \tag 1 Answer=j=LRi=02nj(j+2in)[(ij+2i)(i1j+2i)](1)

整理一下写成:

A n s w e r = ∑ k = 0 n − L ( n k ) [ ( n − k ⌊ n − k − L 2 ⌋ ) − ( n − k ⌊ n − k − min ⁡ ( n − k , R ) − 1 2 ⌋ ) ] (2) Answer = \sum_{k=0}^{n-L}{n \choose k}{\bigg[ {n-k \choose \lfloor \frac{n-k-L}{2} \rfloor}-{n-k \choose \lfloor \frac{n-k-\min(n-k, R)-1}{2} \rfloor} \bigg]}\tag 2 Answer=k=0nL(kn)[(2nkLnk)(2nkmin(nk,R)1nk)](2)

当然,其实有另一种更好的得到 ( 2 ) (2) (2) 式的思路:

我们先选择银行卡的部分,它们的位置对剩余 50 50 50 的数目无影响,为 ( n k ) {n \choose k} (kn)

然后,问题就变成:

n − k n-k nk 个人排队,他们只有面值为 50 50 50 100 100 100 的钱币,问最终剩余 50 50 50 的张数在 [ L , R ] [L, R] [L,R] 的合理方案的数目。

而这个问题已经解决(看题解或者上面贴的链接),综合一下,便有了 ( 2 ) (2) (2) 式。

表达式是有了,但我们还要解决计算的问题(这里就直接引用题解原话了)。

然后需要解决的问题是除法问题,因为P不一定是质数,但是鉴于N比较小,我们可以手动把所有数拆为不含P因子的数和含P因子的数,然后前者做正常的乘法,除法。后者做加,减法,最后统一快速幂乘。

建议多康康 白书


E.喝可乐

Description

众所周知,集训队人人都喜欢喝可乐,也人人都存的有可乐。现在集训队有 n n n个人,第 i i i个人有 a i a_i ai瓶可乐。

你在一天中,需要先取出从可乐数量最多的人(如果有多人则随机)那里取出一瓶可乐,然后给可乐数量最少的人(如果有多人则随机)一瓶可乐。

假设经过了 k k k天后,问现在拥有可乐数最多的人和拥有可乐数最少的人之间的差值。

Input

第一行包含两个数字集训队人数 n n n和操作天数 k k k,中间用空格隔开。

第二行包含 n n n个数,分别为每个人拥有的可乐数,中间用空格隔开。

1 ≤ n ≤ 500000 , 1 ≤ k ≤ 1 0 9 , 1 ≤ a i ≤ 1 0 9 1 \leq n \leq 500000,1 \leq k \leq 10^9,1 \leq a_i \leq 10^9 1n500000,1k109,1ai109

Output

一行一个整数表示结果。

Sample Input 1

4 100
1 1 10 10

Sample Output 1

1

Sample Input 2

4 3
2 2 2 2

Sample Output 2

0

Code

0.线段树

// 谨以此膜拜谦佬 线段树yyds

1.优先队列(或者multiset)

小声bb,这 k k k 哪像是 1 e 9 1e9 1e9 亚子啊


2.二分

二分找出 k k k 次后的最大最小值,相减即可。


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